Exponentiell förändring Ma1
1. Betty köper en aktie för 250 kr. Värdet på aktien ökar därefter med i genomsnitt 1,5% varje månad. Vad är aktien värd efter ett år?
2. Alex köper en dator för 18 000 kr. Värdet minskar med i genomsnitt 4,0% per år.
a) Hur mycket är datorn värd efter två år?
b) Hur många procent har värdet minskat efter fem år?
c) Hur många år dröjer det innan datorns värde har halverats?
3. Lina sätter in 25 000 kr på ett sparkonto som är låst i 7 år till en ränta på 3,5%.
a) Hur mycket pengar har hon på kontot när spartiden är slut?
b) Hur mycket har pengarna ökat procentuellt under spartiden?
Lösningsförslag
För att lösa uppgifter där värdet ökar eller minskar med en viss procent över tid behöver vi förstå några grundläggande begrepp och steg. Här är vad vi behöver kunna:
Förstå förändringsfaktorn: När något ökar eller minskar med en viss procent, använder vi en förändringsfaktor för att enkelt räkna ut det nya värdet. För att räkna ut förändringsfaktorn:
Vid ökning: lägg till procenten som decimal till 1.
Vid minskning: dra bort procenten som decimal från 1.
Multiplicera flera gånger för varje tidsperiod: Om värdet ändras över flera tidsperioder (t.ex. månader eller år), multiplicerar vi med förändringsfaktorn för varje tidsperiod. Detta gör vi genom att upphöja förändringsfaktorn till antalet perioder.
Beräkna total förändring i procent: När vi vill veta hur mycket något totalt har ökat eller minskat efter flera perioder, använder vi förändringsfaktorn och kan jämföra det nya värdet med det ursprungliga.
Räkna ut hur lång tid det tar för en viss förändring (t.ex. en halvering): När vi behöver veta hur många perioder (t.ex. år) som krävs för att nå en viss förändring, provar vi att använda förändringsfaktorn upprepat tills vi når det önskade värdet.
Betty köper en aktie för 250 kr. Värdet på aktien ökar därefter med 1,5 % varje månad. Vad är aktien värd efter ett år?
1. Förändringsfaktorn för en ökning på 1,5 %:
– Vid ökning lägger vi till 1,5 % som decimal: \( 1 + 0,015 = 1,015 \).
– Förändringsfaktorn är 1,015.
2. Använd förändringsfaktorn för varje månad under ett år:
– Eftersom förändringen sker varje månad, och ett år har 12 månader, räknar vi:
\[
250 \times (1,015)^{12}
\]
– Detta ger oss ungefär 298,90 kr.
Svar: Efter ett år är aktien värd ungefär 298,90 kr.
Övningsuppgifter
Alex köper en dator för 18 000 kr. Värdet minskar med i genomsnitt 4,0% per år.
a) Hur mycket är datorn värd efter två år?
1. Förändringsfaktorn för en minskning på 4 % per år:
– Vid minskning drar vi bort 4 % som decimal: \( 1 – 0,04 = 0,96 \).
– Förändringsfaktorn är 0,96.
2. Använd förändringsfaktorn för två år:
– Efter två år blir värdet:
\[
18\,000 \times (0,96)^2
\]
– Detta ger oss ungefär 16 588,80 kr.
Svar: Efter två år är datorn värd cirka 16 588,80 kr.
b) Hur många procent har värdet minskat efter fem år?
1. Använd förändringsfaktorn för fem år:
– Efter fem år blir värdet:
\[
18\,000 \times (0,96)^5 \approx 14\,774,96
\]
2. Beräkna den procentuella minskningen:
– Ursprungligt värde: 18 000 kr
– Nya värdet efter fem år: 14 774,96 kr
– Minskningen i kronor: \( 18\,000 – 14\,774,96 = 3\,225,04 \) kr
– Procentuell minskning:
\[
\frac{3\,225,04}{18\,000} \times 100 \approx 17,92 \%
\]
Svar: Värdet har minskat med cirka 17,92 % efter fem år.
c) Hur många år dröjer det innan datorns värde har halverats?
1. Målet är att hitta hur många år det tar för värdet att bli hälften av 18 000 kr, alltså 9 000 kr.
2. Vi provar upprepad multiplikation:
– Efter 1 år: \( 18\,000 \times 0,96 = 17\,280 \)
– Efter 5 år: cirka 14 775
– Efter cirka 17 år, värdet närmar sig 9 000 kr.
Svar: Det tar ungefär 17 år innan datorns värde har halverats.
Övningsuppgifter
Lina sätter in 25 000 kr på ett sparkonto som är låst i 7 år till en ränta på 3,5 %.
a) Hur mycket pengar har hon på kontot när spartiden är slut?**
1. Förändringsfaktorn för en ökning på 3,5 % per år:
– Vid ökning lägger vi till 3,5% som decimal: \( 1 + 0,035 = 1,035 \).
– Förändringsfaktorn är 1,035.
2. Använd förändringsfaktorn för sju år:
– Efter sju år blir värdet:
\[
25\,000 \times (1,035)^7
\]
– Detta ger ungefär 31 599,58 kr.
Svar: Efter sju år har hon cirka 31 599,58 kr på kontot.
b) Hur mycket har pengarna ökat procentuellt under spartiden?
1. Beräkna ökningen i kronor:
– Ursprungligt värde: 25 000 kr
– Nya värdet efter sju år: cirka 31 599,58 kr
– Ökningen i kronor: \( 31\,599,58 – 25\,000 = 6\,599,58 \) kr
2. Räkna ut procentuell ökning:
\[
\frac{6\,599,58}{25\,000} \times 100 \approx 26,4\,\%
\]
Svar: Pengarna har ökat med cirka 26,4 % under spartiden.