Så fungerar en Andragradsfunktion
Tolka Andragradsfunktioner
f(x) = …
Laddar fråga…
En andra gradens funktion skrivs så här: y = ax^2 + bx + c .
Grafen kallas för en parabel, och hur den ser ut beror på siffrorna framför x^2 , x och den sista siffran c .
Så här kan andragradare se ut. Som ett U eller som ett U upp och ner.
Bokstaven b – hur grafen lutar och flyttas i sidled
y = ax^2 +<strong> </strong>bx + c .
Bokstaven b påverkar var parabeln hamnar i sidled. När du ändrar värdet på b, flyttar sig parabeln åt vänster eller höger.
Topp- eller bottenpunkten finns alltid vid x = -\frac{b}{2a} . Du behöver inte kunna den formeln utantill, men det är bra att veta att det är b som gör att parabeln inte alltid ligger rakt över y-axeln.
Funktionen y = x^2 + 4x är flyttad åt vänster, medan y = x^2 - 6x är flyttad åt höger.
Bokstaven c – höjden på parabeln
y = ax^2 + bx + c .
Bokstaven c visar var parabeln skär y-axeln. Det är helt enkelt värdet på y när x = 0 .
Om du ritar y = x^2 + 3 skär grafen y-axeln vid punkten (0, 3) , och om du istället ritar y = x^2 - 4 skär den y-axeln vid (0, -4) . Ju större c, desto högre ligger hela grafen – och tvärtom.
Sammanfattning av grafens utseende
y = ax^2 + bx + c .
| Bokstav | Påverkar grafen genom att… | Exempel |
|---|---|---|
| a | styra hur spetsig den är och vilket håll den öppnar sig åt | y = -2x^2 |
| b | flytta grafen i sidled | y = x^2 + 4x |
| c | flytta grafen uppåt eller nedåt | y = x^2 - 3 |
Nollställen, symmetrilinje och extrempunkt
När du jobbar med en andra gradens funktion som y = ax^2 + bx + c finns det tre viktiga saker att kunna läsa av eller räkna ut:
nollställen, symmetrilinje och extrempunkt. De hänger ihop och berättar mycket om hur grafen ser ut.
Nollställen – där grafen skär x-axeln
Nollställen är de punkter där grafen skär x-axeln, alltså där y = 0 .
För att hitta dem löser man ekvationen ax^2 + bx + c = 0 .
Den vanligaste metoden är pq-formeln, som används när ekvationen är skriven i formen x^2 + px + q = 0 . Då gäller:
x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}
Om du till exempel har ekvationen x^2 - 4x + 3 = 0 , så är p = -4 och q = 3 .
Då får du:
x = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1
Alltså är nollställena x = 1 och x = 3 .
Grafen till funktionen y = x^2 - 4x + 3 skär alltså x-axeln i dessa punkter.
Symmetrilinje – den mittlinje parabeln viker sig kring
Varje parabel är symmetrisk, och symmetrilinjen är den lodräta linje som går rakt genom parabelns topp eller botten.
Formeln för symmetrilinjen är:
x = -\frac{b}{2a}
Om du har funktionen y = x^2 - 4x + 3 , så blir a = 1 och b = -4 .
Sätter du in det får du x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 .
Det betyder att symmetrilinjen går längs linjen x = 2 .
Alla punkter på parabeln ligger symmetriskt kring denna linje.
Extrempunkt – parabelns högsta eller lägsta punkt
Extrempunkten är parabelns högsta eller lägsta punkt, alltså toppen eller botten.
Om a > 0 ligger den längst ner (botten), och om a < 0 ligger den längst upp (toppen).
För att hitta extrempunkten börjar du med att hitta symmetrilinjen, alltså x = -\frac{b}{2a} .
Sedan sätter du in det värdet i funktionen för att få fram motsvarande y -värde.
📈 Exempel:
För y = x^2 - 4x + 3 vet vi att symmetrilinjen är x = 2 .
Vi sätter in x = 2 i funktionen:
y = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
Alltså är extrempunkten (2, -1) .
Det betyder att grafen når sitt lägsta värde vid y = -1 , och parabeln har sin botten där.
Här syns extrempunkten x = 2, y = -1
Sammanfattning: Nollställen, symmetrilinje och extrempunkt
| Begrepp | Vad det betyder | Hur man hittar det | Exempel |
|---|---|---|---|
| Nollställen | Där grafen skär x-axeln | Sätt y = 0 och lös med pq-formeln | x = 1 och x = 3 |
| Symmetrilinje | Linjen som parabeln är spegelvänd kring | x = -\frac{b}{2a} | x = 2 |
| Extrempunkt | Parabelns topp eller botten | Sätt in symmetrilinjens x-värde i funktionen | (2, -1) |