Kluring med upprepad förändring. Ma1
Du lånar 3000 kr för att köpa en ny mobiltelefon och måste betala tillbaka 3600 kr efter en månad.
a) Vilken procentuell månadsränta betalas på lånet?
b) Om du inte betalar tillbaka lånet i tid kommer du, efter den första månaden, att ha en skuld på 3600 kr. Efter ytterligare en månad måste du betala ränta med samma räntesats som för första månaden på detta belopp. Hur mycket kommer du att vara skyldig efter två månader?
c) Om du fortfarande inte betalar tillbaka lånet, fortsätter skulden att öka med samma räntesats varje månad. Hur mycket skulle du vara skyldig totalt efter ett år?
d) Hur stor blir den procentuella årsräntan (effektiv ränta) på lånet?
Lösningsförslag
a) Vilken procentuell månadsränta betalas på lånet?
1. Tänk så här: Vi började med att låna 3000 kr och efter en månad ska vi betala tillbaka 3600 kr. Det betyder att beloppet har ökat med räntan under den första månaden.
2. Beräkning: För att hitta räntan kan vi använda formeln för procentuell ökning:
\[
\text{Ränta} = \frac{Förändringen}{\text{Startvärdet}} \times 100
\]
I vårt fall:
\[
\text{Ränta} = \frac{600}{3000} \times 100 = 20\%
\]
Svar: Månadsräntan är 20 %.
b) Hur mycket kommer du att vara skyldig efter två månader?
1. Tänk så här: Efter första månaden är skulden 3600 kr. Om vi inte betalar tillbaka lånet, läggs samma månadsränta (20 %) på detta belopp för nästa månad.
2. Beräkning: För att räkna ut vad vi är skyldiga efter två månader multiplicerar vi beloppet efter en månad (3600 kr) med 1,20 (där 1 står för det ursprungliga beloppet och 0,20 står för 20 % ränta):
\[
\text{Skuld efter två månader} = 3600 \times 1,20 = 4320 \text{ kr}
\]
Svar: Skulden efter två månader är 4320 kr.
c) Hur mycket skulle du vara skyldig totalt efter ett år?
1. Tänk så här: Om skulden fortsätter att växa med samma räntesats (20 %) varje månad, blir det en så kallad ränta-på-ränta-effekt. Varje månad lägger vi till 20 % på det nya beloppet.
2. Beräkning: För att beräkna vad vi är skyldiga efter ett år (12 månader), använder vi formeln:
\[
\text{Slutskuld} = \text{Ursprungligt belopp} \times (1 + \text{månadsränta})^{\text{antal månader}}
\]
I vårt fall:
\[
\text{Slutskuld} = 3000 \times (1 + 0,20)^{12}
\]
\[
\text{Slutskuld} = 3000 \times (1,20)^{12}
\]
Beräkningen av \( (1,20)^{12} \) ger ungefär 8,92, så:
\[
\text{Slutskuld} \approx 3000 \times 8,92 = 26760 \text{ kr}
\]
Svar: Skulden efter ett år är cirka 26760 kr.
d) Hur stor blir den procentuella årsräntan (effektiv ränta) på lånet?
1. Tänk så här: Den effektiva räntan är den totala räntan för ett år, som tar hänsyn till att räntan läggs på varje månad och växer enligt ränta-på-ränta-principen.
2. Beräkning: Eftersom vi har en månadsränta på 20 %, kan vi räkna ut den effektiva räntan med samma formel som i uppgift c:
\[
\text{Effektiv årsränta} = (1 + \text{månadsränta})^{12} – 1
\]
I vårt fall:
\[
\text{Effektiv årsränta} = (1,20)^{12} – 1
\]
\[
\text{Effektiv årsränta} \approx 8,92 – 1 = 7,92
\]
För att få detta som en procent:
\[
\text{Effektiv årsränta} \approx 792\%
\]
Svar på d): Den effektiva årsräntan är ungefär 792 %.