Defintionsmängd och värdemängd. Nivå2. Ma1.
\textbf{Uppgift: Definitionsmängd och värdemängd}
För följande funktioner, bestäm definitionsmängd (DfD_f) och värdemängd (VfV_f).
- a) Bråkfunktion:
f(x) = \frac{2}{x - 3} -
b) Rotfunktion:
g(x) = \sqrt{x} -
c) Kvadratfunktion:
h(x) = x^2 -
d) Rational funktion:
p(x) = \frac{4}{x}
Lösningsförslag
\[
\textbf{Lösningsförslag: Definitionsmängd och värdemängd}
\]
För varje funktion bestämmer vi definitionsmängd \( D_f \) (vilka \( x \)-värden som är tillåtna) och värdemängd \( V_f \) (vilka \( y \)-värden funktionen kan anta).
\[
\textbf{a) Bråkfunktion:} \quad f(x) = \frac{2}{x – 3}
\]
\[
\textbf{Steg 1: Bestäm definitionsmängden } D_f
\]
– Funktionen innehåller en nämnare, och division med 0 är inte tillåten.
– Nämnaren är \( x – 3 \), så vi löser ekvationen:
\[
x – 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3
\]
– Alla \( x \)-värden utom \( x = 3 \) är tillåtna:
\[
D_f: x \neq 3
\]
\[
\textbf{Steg 2: Bestäm värdemängden } V_f
\]
– Funktionen kan aldrig bli \( 0 \) eftersom täljaren alltid är \( 2 \).
– Alla andra \( y \)-värden är möjliga:
\[
V_f: y \neq 0
\]
\[
\textbf{b) Rotfunktion:} \quad g(x) = \sqrt{x}
\]
\[
\textbf{Steg 1: Bestäm definitionsmängden } D_f
\]
– Kvadratrot är endast definierad för \( x \geq 0 \):
\[
D_f: x \geq 0
\]
\[
\textbf{Steg 2: Bestäm värdemängden } V_f
\]
– Kvadratroten ger alltid icke-negativa \( y \)-värden:
\[
V_f: y \geq 0
\]
\[
\textbf{c) Kvadratfunktion:} \quad h(x) = x^2
\]
\[
\textbf{Steg 1: Bestäm definitionsmängden } D_f
\]
– Funktionen \( x^2 \) är definierad för alla \( x \):
\[
D_f: x \text{ är alla reella tal}
\]
\[
\textbf{Steg 2: Bestäm värdemängden } V_f
\]
– Minsta möjliga värde är \( 0 \) (vid \( x = 0 \)).
– Funktionen är alltid positiv eller noll:
\[
V_f: y \geq 0
\]
\[
\textbf{d) Rationell funktion:} \quad p(x) = \frac{4}{x}
\]
\[
\textbf{Steg 1: Bestäm definitionsmängden } D_f
\]
– Funktionen innehåller en nämnare, och division med 0 är inte tillåten.
– Nämnaren är \( x \), så vi löser:
\[
x = 0
\]
– Alla \( x \)-värden utom \( x = 0 \) är tillåtna:
\[
D_f: x \neq 0
\]
\[
\textbf{Steg 2: Bestäm värdemängden } V_f
\]
– Funktionen kan anta alla värden utom \( y = 0 \):
\[
V_f: y \neq 0
\]
\[
\textbf{Sammanfattning i tabellform:}
\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Funktion} & D_f & V_f \\
\hline
f(x) = \frac{2}{x – 3} & x \neq 3 & y \neq 0 \\
g(x) = \sqrt{x} & x \geq 0 & y \geq 0 \\
h(x) = x^2 & x \text{ är alla reella tal} & y \geq 0 \\
p(x) = \frac{4}{x} & x \neq 0 & y \neq 0 \\
\hline
\end{array}
\]