Exp.funktion med okänd exp. Nivå 2. Ma1.

Lösningsförslag

Vi har ett sparkonto där en insättning på 12 000 kr görs. Kontot har en fast årlig ränta på 5 %, vilket innebär att pengarna ökar i värde genom ränta-på-ränta-effekten. Det betyder att vi kan beskriva värdet av pengarna med en exponentiell funktion av formen

f(x) = C \cdot a^x

där

• C är startvärdet, det vill säga den ursprungliga insättningen på 12 000 kr.
• a är förändringsfaktorn. Eftersom räntan ökar med 5 % per år innebär det att vi multiplicerar värdet med 1,05 varje år, alltså a = 1,05.
• x är antalet år som pengarna har stått på kontot.

Steg 1: Ange funktionsuttrycket

Eftersom vi nu vet att C = 12 000 och a = 1,05, kan vi skriva funktionen som beskriver kontots värde efter x år:

f(x) = 12000 \cdot 1,05^x

Detta uttryck visar hur mycket pengar som finns på kontot beroende på hur länge det har stått där.

Steg 2: Beräkna värdet efter 6 år

För att ta reda på hur mycket pengar som finns på kontot efter 6 år, sätter vi in x = 6 i funktionsuttrycket:

f(6) = 12000 \cdot 1,05^6

Vi beräknar exponenten först:

1,05^6 \approx 1,3401

Sedan multiplicerar vi:

f(6) \approx 12000 \cdot 1,3401 \approx 16081,2

Eftersom vi ska avrunda till hela kronor blir det 16 081 kr.

Sammanfattning av metoden

1. Använd den exponentiella modellen för tillväxt:
   f(x) = C \cdot a^x

2. Hitta startvärdet C och förändringsfaktorn a:

   • C är insättningen.
   • a beror på räntan i procent. Fast som förändringsfaktor.

3. Beräkna värdet vid ett visst x genom att sätta in i ekvationen.

Denna metod fungerar för alla liknande uppgifter där pengar växer genom ränta-på-ränta-effekten!

c)

För att lösa den här uppgiften kan vi använda en ekvationslösare i GeoGebra via exam.net/matematik.

Steg 1: Gå till rätt verktyg

1. Öppna exam.net/matematik i webbläsaren.
2. Klicka på GeoGebra och välj Ekvationslösaren.

Steg 2: Skriv in ekvationen

Vi vet att kontots värde följer funktionen:

y = 12000 \cdot 1,05^x

Vi vill veta vid vilket år summan överstiger 24 000 kr, alltså löser vi ekvationen:

24000 = 12000 \cdot 1,05^x

1. Skriv in ekvationen i GeoGebras ekvationslösare.
2. Tryck på xx med ett ungefärligt likhetstecken (≈\approx) för att få en lösning.

Steg 3: Tolka svaret

GeoGebra ger oss ett svar runt 14,2 år. Detta betyder att vid 14 år har vi ännu inte överstigit 24 000 kr, men efter 15 år har vi gjort det.

Svar: Det tar 15 år innan summan överstiger 24 000 kr.

Den här metoden fungerar när vi vill använda ekvationslösaren för att hitta värdet på xx i en exponentiell ekvation!

Övningsuppgifter