Exp.funktion från graf. Nivå 1. Ma1.

Lösningsförslag

a)

Vi har funktionsuttrycket

där f(x) ger antalet bakterier vid en viss tid x i timmar.
Vi vill bestämma vid vilket x vi får f(x) = 50, det vill säga när antalet bakterier är 50.

För att lösa detta kan vi använda grafen. Vi letar efter den punkt där y-värdet är 50 och läser av motsvarande x-värde på x-axeln.

Från grafen ser vi att när f(x) = 50, så ligger x ungefär vid 2,3.

Svar: x ≈ 2,3 eller ca 2 timmar och 18 minuter.

Läs av grafen enligt bilden nedan:

b)

Vi vet att bakterietillväxten följer en exponentiell funktion, vilket betyder att den kan skrivas på formen

f(x) = C \cdot a^x

Där

• $C$ är startvärdet (antalet bakterier vid $x=0$).
• $a$ är förändringsfaktorn (hur många gånger större värdet blir per tidsenhet).
• $x$ är tiden i timmar.

För att bestämma $C$ sätter vi in x = 0. Från grafen ser vi att vid $x=0$ är y = 10, vilket betyder att

C = 10

Därför kan vi skriva om funktionen till

f(x) = 10 \cdot a^x

För att hitta $a$ väljer vi en punkt från grafen. När $x=2$ ser vi att $y=40$, alltså

f(2) = 40

Vi sätter in $x=2$ och $f(2)=40$ i ekvationen

40 = 10 \cdot a^2

Vi löser för $a$ genom att först dividera båda sidor med 10

a^2 = \frac{40}{10} = 4

Sedan tar vi roten ur båda sidor

a = \sqrt{4} = 2

Nu har vi både $C=10$ och $a=2$, vilket ger funktionsuttrycket

f(x) = 10 \cdot 2^x

Övningsuppgifter