Sammansatta funktioner. Nivå 3. Ma1.

Lösningsförslag

\textbf{Förstå problemet}

Vi har två funktioner:

g(x) = 8 - 2x

p(x) = 3x + 4

och vi ska lösa ekvationen:

p(g(1)) = 5x - 6

Det betyder att vi först måste beräkna $g(1)$, sedan använda det resultatet för att beräkna $p(g(1))$ och slutligen lösa ekvationen för $x$.

\textbf{Steg 1: Beräkna } g(1)

Eftersom $g(x)$ är en funktion betyder det att om vi stoppar in ett visst värde på $x$, så räknar funktionen ut ett nytt värde.

Här ska vi sätta in $x=1$ i funktionen $g(x)$:

g(1) = 8 - 2(1)

Varför gör vi detta?
Vi behöver veta vad $g(1)$ blir eftersom vi sedan ska använda det i funktionen $p(x)$.

Nu räknar vi ut värdet:

g(1) = 8 - 2 = 6

Så vi har fått att $g(1)=6$.

\textbf{Steg 2: Beräkna } p(g(1)) = p(6)

Eftersom vi nu vet att $g(1)=6$, betyder det att vi egentligen ska beräkna:

p(6)

Vi använder funktionen $p(x)=3x+4$ och sätter in $x=6$:

p(6) = 3(6) + 4

Varför gör vi detta?
Vi vet från ekvationen att $p(g(1))=5x-6$, och nu räknar vi ut exakt vad $p(g(1))$ blir.

Beräkning:

p(6) = 18 + 4 = 22

Så vi har nu:

p(g(1)) = 22

\textbf{Steg 3: Lös ekvationen } p(g(1)) = 5x - 6

Vi vet nu att:

p(g(1)) = 22

och enligt uppgiften gäller:

p(g(1)) = 5x - 6

Hur tolkar vi detta?
Det betyder att vi nu har en vanlig ekvation att lösa:

22 = 5x - 6

Varför gör vi detta?
Vi behöver nu lösa ut $x$ genom att steg för steg förenkla ekvationen.

Steg 1: Isolera $5x$ genom att addera 6 till båda sidor:

22 + 6 = 5x

28 = 5x

Steg 2: Dela båda sidor med 5 för att lösa ut $x$:

x = \frac{28}{5}

x = 5,6

\textbf{Svar: } x = 5,6

Slutsats och sammanfattning av lösningsstrategin

1. Förstå ekvationen:

   • Vi ser att vi behöver beräkna $p(g(1))$ innan vi kan lösa ekvationen.

2. Beräkna $g(1)$:

   • Vi stoppar in $x=1$ i $g(x)$ för att få $g(1)=6$.

3. Beräkna $p(g(1))=p(6)$:

   • Vi använder $p(x)$ och sätter in $x=6$, vilket ger $p(6)=22$.

4. Lös ekvationen $22=5x-6$:

   • Vi isolerar $x$ genom att först addera 6 och sedan dividera med 5.

5. Slutresultat:

   • Vi får $x=5,6$.

Övningsuppgifter