Uttryck med okänd variabel. Nivå 3. Ma1.

Lösningsförslag

\textbf{Steg 1: Förstå problemet}

Vi har 120 meter staket som delas upp i två delar:

• $x$ meter används för ett runt staket runt en cirkelformad pool.
• Resten av staketet, $120-x$ meter, används för att bygga ett kvadratiskt staket runt en annan pool.

Vår uppgift är att bestämma den totala inhägnade arean som en funktion av $x$.

\textbf{Steg 2: Bestäm cirkelns area}

Ett runt staket betyder att $x$ meter används som cirkelns omkrets. Cirkelns omkrets ges av:

\text{Omkrets} = 2\pi r

Vi sätter omkretsen lika med $x$:

x = 2\pi r

Löser ut radien $r$:

r = \frac{x}{2\pi}

Cirkelns area ges av:

A_{\text{cirkel}} = \pi r^2

Sätter in r=x2πr = \frac{x}{2\pi}r=2πx​:

A_{\text{cirkel}} = \pi \left(\frac{x}{2\pi}\right)^2

Förenklar:

A_{\text{cirkel}} = \pi \cdot \frac{x^2}{4\pi^2}

A_{\text{cirkel}} = \frac{x^2}{4\pi}

\textbf{Steg 3: Bestäm kvadratens area}

Det återstående staketet, $120-x$ meter, används för att bygga ett kvadratiskt staket.
Eftersom ett kvadratiskt staket består av fyra lika långa sidor, är sidlängden för kvadraten:

s = \frac{120 - x}{4}

Kvadratens area ges av:

A_{\text{kvadrat}} = s^2

Sätter in s=120−x4s = \frac{120 – x}{4}s=4120−x​:

A_{\text{kvadrat}} = \left(\frac{120 - x}{4}\right)^2

A_{\text{kvadrat}} = \frac{(120 - x)^2}{16}

\textbf{Steg 4: Bestäm den totala arean}

Den totala inhägnade arean är summan av cirkelns och kvadratens areor:

A_{\text{total}} = A_{\text{cirkel}} + A_{\text{kvadrat}}

A_{\text{total}} = \frac{x^2}{4\pi} + \frac{(120 - x)^2}{16}

\textbf{Svar:}

Den totala inhägnade arean som en funktion av $x$ är:

A(x) = \frac{x^2}{4\pi} + \frac{(120 - x)^2}{16}

I videon ger jag ett annat svar, men båda svaren har samma värde i videon förenklar jag lite längre, men båda svaren är rätt. 

Övningsuppgifter