Exponentiell ökning. Nivå 1. Ma1.

Lösningsförslag

Hur beräknar vi antalet prenumeranter över tid?

Vi vet att kanalen har 500 prenumeranter från början och att antalet ökar med 25 % per år.
Eftersom ökningen sker procentuellt, följer detta en exponentiell funktion.

Den generella formen för exponentiell tillväxt är:
y = C \cdot a^x
där:

• C = 500 (startvärdet, dvs. antalet prenumeranter från början),
• a = 1,25 förändringsfaktorn för en ökning med 25% (100% + 25%)
• x är antalet år,
• y är antalet prenumeranter efter x år.

a) Hur många prenumeranter efter 4 år?

Vi använder formeln:
y = 500 \cdot 1,25^4

Beräkna stegvis:

1. 1,254 ≈ 2,44141,25^4 \approx 2,4414
2. 500×2,4414≈1220,7500 \times 2,4414 \approx 1220,7

Eftersom vi ska avrunda till hela personer:
y \approx 1221

Svar: Efter 4 år har kanalen ungefär 1221 prenumeranter.

b) Varför blir x en exponent i ekvationen?

Vi använder exponentiell tillväxt eftersom antalet prenumeranter ökar med 25 % per år.
Det betyder att varje år multipliceras det totala antalet prenumeranter med 1,25.

Vi bygger upp tanken steg för steg:

• Startvärde vid x=0x = 0:
  y = 500
• Efter 1 år:
  y = 500 \cdot 1,25
• Efter 2 år:
  y = 500 \cdot 1,25 \cdot 1,25 = 500 \cdot 1,25^2
• Efter 3 år:
  y = 500 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 = 500 \cdot 1,25^3

Vi ser att för varje år vi går framåt, multipliceras med 1,25 ytterligare en gång.
Därför kan vi skriva en allmän formel där xx (antalet år) anger hur många gånger vi har multiplicerat med 1,25:

Vad betyder varje del i ekvationen?

• y = antalet prenumeranter efter x år
• 500 = startvärdet (antalet prenumeranter från början)
• 1,25 = förändringsfaktorn (eftersom vi ökar med 25 % per år)
• x = antalet år (anger hur många gånger vi har multiplicerat med 1,25)

Slutsats:
Vi använder exponenten x eftersom antalet prenumeranter förändras med en fast procentuell ökning varje år. Ju längre tiden går, desto fler gånger har vi multiplicerat med 1,25, och därför blir x exponenten i ekvationen.

Övningsuppgifter