Funktioner f(x). Nivå 2. ma1.
Lösningsförslag
a) Vad betyder S(2)=85S(2) = 85?
Uttrycket S(2) = 85 betyder att när avståndet till mobilmasten är 2 km, är signalstyrkan 85 enheter på en skala från 0 till 100.
Med andra ord innebär det att vid 2 km från masten har man en god signalstyrka på 85.
b) Är signalstyrkan en linjär funktion?
Vi undersöker om signalstyrkan minskar lika mycket för varje ökning i avstånd dd.
En funktion är linjär om förändringen är konstant, dvs. om skillnaden mellan värdena alltid är lika stor när dd ökar med samma steg.
Vi har värdena:
S(1) = 95, \quad S(2) = 85, \quad S(5) = 60
Är det en linjär funktion?
Förändringen från d=1d = 1 till d=2d = 2:
\frac{85 - 95}{2 - 1} = \frac{-10}{1} = -10
Signalen minskar alltså med 10 enheter per km i detta intervall.
Förändringen från d=2d = 2 till d=5d = 5:
\frac{60 - 85}{5 - 2} = \frac{-25}{3} \approx -8.3
Här minskar signalen med ungefär 8,3 enheter per km, vilket inte är samma som tidigare.
Slutsats:
Eftersom förändringshastigheten inte är konstant, betyder det att signalstyrkan inte minskar i en jämn takt.
Detta innebär att signalen inte följer en linjär funktion, utan snarare en icke-linjär funktion där styrkan minskar snabbare först och sedan långsammare.
Svar: Signalstyrkan är inte en linjär funktion eftersom minskningen per km varierar.
Övningsuppgifter
a) Förklara med ord vad S(2) = 80 innebär.
b) Undersök om sambandet kan vara en linjär funktion. Motivera ditt svar.
Klicka för facit!
a) S(2) = 80 betyder att signalstyrkan är 80 enheter vid 2 meters avstånd från routern.
b) Skillnaden mellan S(1) = 90 och S(3) = 70 är 20 enheter över 2 meter, dvs. 10 enheter per meter. Mellan S(3) = 70 och S(5) = 50 är också skillnaden 20 enheter över 2 meter (10 enheter per meter). Eftersom minskningen per meter är samma, kan sambandet vara linjärt.
En gatubelysning har en ljusstyrka som beror på avståndet x (i meter) från lampan. Ljusstyrkan mäts i lumen och kallas L(x).
a) Tolka vad L(2) = 120 betyder i praktiken.
b) För en viss lampa gäller: L(1) = 150, L(4) = 90 och L(6) = 60.
Bestäm om ljusstyrkan minskar linjärt med avståndet. Motivera ditt svar.
Klicka för facit!
a)L(2) = 120 innebär att ljusstyrkan är 120 lumen vid 2 meters avstånd från lampan.
Svar: Ljusstyrkan är 120 lumen vid 2 meter.
b) Mellan L(1) och L(4) minskar ljusstyrkan med 60 lumen över 3 meter (20 lumen per meter), medan mellan L(4) och L(6) minskar den med 30 lumen över 2 meter (15 lumen per meter). Eftersom minskningshastigheten inte är konstant, är sambandet inte linjärt.
Svar: Sambandet är inte linjärt eftersom minskningen per meter varierar.
En högtalare avger ljudnivå M(t) (i decibel), där t är avståndet i meter från högtalaren.
a) Förklara vad M(2) = 100 innebär.
b) Mätningar visar: M(1) = 105, M(3) = 90 och M(6) = 75.
Är detta samband linjärt? Motivera.
Klicka för facit!
a) M(2) = 100 betyder att ljudnivån är 100 decibel vid 2 meters avstånd från högtalaren.
b) Lutningen mellan M(1) och M(3) är (90 – 105) / (3 – 1) = -15/2 = -7,5, medan lutningen mellan M(3) och M(6) är (75 – 90) / (6 – 3) = -15/3 = -5. Eftersom dessa lutningar skiljer sig åt, är sambandet inte linjärt.